11. Map和Set

一、二叉搜索树

1. 概念

二叉搜索树又称二叉排序树，它或者是一棵空树，或者是具有以下性质的二叉树：

若它的左子树不为空，则左子树上所有节点的值都小于根节点的值
若它的右子树不为空，则右子树上所有节点的值都大于根节点的值
它的左右子树也分别为二叉搜索树

int[] array = {5,3,4,1,7,8,2,6,0,9};

2. 查找

3. 插入

1. 如果树为空树，即根 == null，直接插入

2. 如果树不是空树，按照查找逻辑确定插入位置，插入新结点

4. 删除

设待删除结点为 cur，待删除结点的双亲结点为 parent 。

1. cur.left == null

cur 是 root，则 root = cur.right
cur 不是 root，cur 是 parent.left，则 parent.left = cur.right
cur 不是 root，cur 是 parent.right，则 parent.right = cur.right

2. cur.right == null

cur 是 root，则 root = cur.left
cur 不是 root，cur 是 parent.left，则 parent.left = cur.left
cur 不是 root，cur 是 parent.right，则 parent.right = cur.left

3. cur.left != null && cur.right != null

需要使用替换法进行删除，即在 cur 的右子树中寻找中序遍历的下一个结点 temp (也就是cur右子树中最左下的节点) 以及该节点的前驱 pre，用 temp 的值填补到被删除节点 cur 中，即cur.val = temp.val; 再来处理 temp 结点的删除问题。注意：最终找到的 temp 节点的值一定是 cur 的右子树中值最小的，且一定有 temp.left = null。
当 temp 节点就是 cur.right 时，此时一定是 tpre = cur，则让 tpre.right = temp.right;
当 temp 节点是 cur.right，然后再一直往左走时，直到走到最左端，则让 tpre.left = temp.right 。

5. 代码实现

public class BinarySearchTree {
    public class TreeNode{
        public TreeNode left;
        public TreeNode right;
        public int val;

        public TreeNode(int val) {
            this.val = val;
        }
    }

    public TreeNode root = null;

    //查找
    public TreeNode search(int key){
        if(root == null){
            return null;
        }
        TreeNode cur = root;
        while (cur != null){
            if (cur.val > key){
                cur = cur.left;
            }else if(cur.val < key){
                cur = cur.right;
            }else {
                return cur;
            }
        }
        return null;
    }

    //插入
    public boolean insert(int key){
        TreeNode node = new TreeNode(key);
        if(root == null){
            root = node;
            return true;
        }
        TreeNode prev,cur;
        prev = root;
        cur = root;
        while (cur != null){
            if(cur.val > key){
                prev = cur;
                cur = cur.left;
            }else if(cur.val < key){
                prev = cur;
                cur = cur.right;
            }else {
                return false;
            }
        }
        if(prev.val > key){
            prev.left = node;
        }else {
            prev.right = node;
        }
        return true;
    }

    //删除
    public boolean remove(int key){
        TreeNode cur = root;
        TreeNode parent = root;
        while (cur != null){
            if (cur.val > key){
                parent = cur;
                cur = cur.left;
            }else if(cur.val < key){
                parent = cur;
                cur = cur.right;
            }else {
                removeNode(parent,cur);
                return true;
            }
        }
        return false ;
    }

    private void removeNode(TreeNode parent, TreeNode cur){
        if(cur.left == null){    // cur左右孩子都为null的情况也会默认在次处理。
            if(cur == root){
                root = root.right;
            }else if(parent.left == cur){
                parent.left = cur.right;
            }else{
                parent.right = cur.right;
            }
        }else if(cur.right == null){
            if(cur == root){
                root = root.left;
            }else if(parent.left == cur){
                parent.left = cur.left;
            }else{
                parent.right = cur.left;
            }
        }else {       // 左右孩子都不为null。
            if (cur == root){
                root = null;
            }
            // 用temp找到cur右子树中最左下的节点。
            // 两种情况：1.当cur.right没有左子树时，cur右子树中最左下的节点是cur.right;
            //         2.当cur.right有左子树时,cur右子树中最左下的节点是cur.right, 然后一直往左走。
            TreeNode temp = cur.right;
            TreeNode tprev = cur;
            while (temp.left != null){
                tprev = temp;
                temp = temp.left;
            }
            cur.val = temp.val;
            if(tprev.left == temp){
                tprev.left = temp.right;
            }else{
                tprev.right = temp.right;
            }
        }
    }

    //中序遍历
    public void inOrder(TreeNode root){
        if (root == null){
            return;
        }
        inOrder(root.left);
        System.out.print(root.val + " ");
        inOrder(root.right);
    }
}

6. 性能分析

插入和删除操作都必须先查找，查找效率代表了二叉搜索树中各个操作的性能。对有n个结点的二叉搜索树，若每个元素查找的概率相等，则二叉搜索树平均查找长度是结点在二叉搜索树的深度的函数，即结点越深，则比较次数越多。但对于同一个关键码集合，如果各关键码插入的次序不同，可能得到不同结构的二叉搜索树：

最优情况下，二叉搜索树为完全二叉树，其平均比较次数为： $\log_{2}n$

最差情况下，二叉搜索树退化为单支树，其平均比较次数为： $\frac{n}{2}$

问题：如果退化成单支树，二叉搜索树的性能就失去了。那能否进行改进，不论按照什么次序插入关键码，都可以是二叉搜索树的性能最佳？

答：为了避免树的高度增长过快，降低二叉排序树的性能，规定在插入和删除结点时，要保证任意结点的左、右子树高度差的绝对值不超过1，将这样的二叉树称为平衡二叉树(BalancedBinary Tree)，也称 AVL树。定义结点左子树与右子树的高度差为该结点的平衡因子，则平衡二叉树结点的平衡因子的值只可能是-1、0或1。